Mathematica研究空间曲线的曲率、挠率

Mathematica研究空间曲线的曲率、挠率

本文，学习一下空间曲线的曲率、挠率概念，并计算一下这些概念的值！

给定自然参数曲线C：r[s]上一点P，P对应的参数值为s，P的临近点Q对应的参数值为s+s0，那么P沿着曲线C跑到Q，切向量转过的角度是：

r[s]:={Cos[s/Sqrt], Sin[s/Sqrt], s/Sqrt};

Assuming[Element[{s,s0},Reals],

VectorAngle[r[s],r[s]/.s->s+s0]//Simplify]

当s0趋于0时，对应的极限就是曲线C在P的曲率，记为k[s]:

k[s_]:=Limit[Assuming[Element[{s,s0},Reals],VectorAngle[r[s],r[s]/.s->s+s0]//Simplify],s0->0]

k[s]

Assuming[s>0,k[s]//Simplify]

事实上，k[s]就等于r''[s]的模长：

D[r[s],{s,2}]

Sqrt[D[r[s],{s,2}].D[r[s],{s,2}]]//Simplify

可是为什么与上面一步结果不符呢？

给定自然参数曲线C：r[s]上一点P，P对应的参数值为s，P的临近点Q对应的参数值为s+s0，那么P沿着曲线C跑到Q，副法向量转过的角度是：

r[s_]:={Cos[s/Sqrt], Sin[s/Sqrt], s/Sqrt};

\[Alpha]=D[r[s],s]

\[Beta]=D[r[s],{s,2}]/(D[r[s],{s,2}].D[r[s],{s,2}])

\[Gamma]=Cross[\[Alpha],\[Beta]] //Simplify

Assuming[Element[{s,s0},Reals],

VectorAngle[\[Gamma],\[Gamma]/.s->s+s0]//Simplify]

当s0->0时，副法向量转过的角度的极限就是副法向量的微商的模长（因为副法向量是单位向量）：

k[s_]:=Limit[Assuming[Element[{s,s0},Reals],VectorAngle[\[Gamma],\[Gamma]/.s->s+s0]//Simplify],s0->0]

k[s]

Assuming[s>0,k[s]//Simplify]

D[\[Gamma],s]

Sqrt[D[\[Gamma],s].D[\[Gamma],s]]//Simplify

为什么两种结论？

证明曲线的副法向量γ的微商跟主法向量β平行：

r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t}

\[Alpha]=D[r[t],t]/Sqrt[D[r[t],t].D[r[t],t]]//Simplify

\[Beta]=D[r[t],{t,2}]/Sqrt[D[r[t],{t,2}].D[r[t],{t,2}]]//Simplify

\[Gamma]=Cross[\[Alpha],\[Beta]]//Simplify

D[\[Gamma],t]//Simplify

VectorAngle[D[\[Gamma],t],\[Beta]]//Simplify

Solve[D[\[Gamma],t]==u \[Beta],u]

所以，挠率的定义如下。